一、倍数特性

1、倍数特性四大应用

①当条件出现比例

   ![image-20241214105247357](../image/·数量关系/image-20241214105247357.png)

②当条件出现分数

③当条件中出现百分数

④当条件中出现倍数

二、余数特性

1、余数基本概念

2、余数基本运算

3、同余定理

三、方程问题

四、不定方程

1、一个方程

2、两个方程

五、浓度问题

1、定义法

2、公式法

3、特值法

六、集合问题

1、双集合问题

2、三集合问题

3、类集合问题

七、最值问题

八、抽屉原理

九、工程问题

1、条件给出工作时间

2、条件给出工作效率

十、行程问题

1、基础行程问题

2、平均速度问题

3、相对速度问题

十一、周期问题

十二、利润问题

十三、年龄问题

十四、边端问题

1、植树问题

①线性植树

②环形植树

③楼间植树

2、方阵问题

方阵的外层比里层每层每边多两人
方阵的外层比相邻里层共多8人

十五、排列组合

1、分类分步

2、排列组合

主题	内容
基本概念	排列：从 n 个不同元素中取出 m 个元素，按一定的顺序排列，顺序不同即为不同排列。
	组合：从 n 个不同元素中取出 m 个元素，顺序无关，元素相同即为相同组合。
符号表示	排列：( A(n, m) ) 或 ( P(n, m) )，组合：( C(n, m) ) 或 ( \binom{n}{m} )。
公式	- 排列公式：( A(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!} )，其中 ( n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1 )。
	- 组合公式：( C(n, m) = \frac{n!}{m!(n-m)!} )。
	- 排列与组合关系：( A(n, m) = C(n, m) \times m! )。
特殊情况	- ( m = n )：排列数 ( A(n, n) = n! )，组合数 ( C(n, n) = 1 )。
	- ( m = 0 )：排列数 ( A(n, 0) = 1 )，组合数 ( C(n, 0) = 1 )。
性质	- ( C(n, m) = C(n, n-m) )，即选出 m 个和剩下 ( n-m ) 个是等价的。
	- 组合递推公式：( C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1) )。
	- 排列与组合数均为整数。
扩展公式	- 带重复元素的排列：如果从 n 种元素中，每种元素可以重复选取，总排列数为 ( n^m )。
	- 带重复元素的组合：从 n 种元素中，每种元素可以重复选取，总组合数为 ( C(n+m-1, m) )。
	- 环形排列：将 n 个元素排成一圈时，独立排列数为 ( (n-1)! )。
	- 捆绑元素：将特定多个元素视为整体，共同参与排列或组合。
常见应用	- 排列问题：人员座次安排、数字密码排列、比赛顺序安排等。
	- 组合问题：团队分组选择、抽奖中奖情况、选择搭配问题等。
简化技巧	- 固定元素法：固定某一位置的元素减少可能性。例如：第一个位置固定为 A 的情况。
	- 捆绑法：某些元素总是同时出现，例如某两人总在一起排列，可视为一个“整体”排列。
	- 排除法：用全排列总数减去不符合条件的情况。例如不包含某元素的情况。
工具使用	计算器上的 nPr 表示排列数，nCr 表示组合数，可快速计算常见的排列或组合结果。
实际案例	排列案例：
	- 比如从 5 个人中选 3 人站成一排，共有 ( A(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = 60 ) 种不同站法。
	组合案例：
	- 比如从 8 名候选人中选择 4 人参加比赛，顺序不重要，则共有 ( C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = 70 ) 种组合。
	综合案例：
	- 一个队列中有 10 人，3 名作为领导，7 名作为工作人员，总共有 ( C(10, 3) \times C(7, 2) ) 种分配方案。
练习题	1. 从 10 本书中选出 4 本分配给两个学生，每个学生 2 本，共有几种分配方案？
	2. 一场比赛有 5 队参与，排定前三名顺序有几种可能？
	3. 从 12 个候选人中挑选 5 名组队，共有多少种方法？

题目	解答与结果
1. 从 10 本书中选出 4 本分配给两个学生，每个学生 2 本，共有几种分配方案？	解答：先从 10 本书中选择 4 本，共有 ( C(10, 4) ) 种方法；再将这 4 本书分给两名学生，每人 2 本，共有 ( C(4, 2) \times C(2, 2) ) 种方法。总方案数为：
	( C(10, 4) \times C(4, 2) = \frac{10!}{4!(10-4)!} \times \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 210 \times 6 = 1260 ) 种。
2. 一场比赛有 5 队参与，排定前三名顺序有几种可能？	解答：从 5 支队伍中选择 3 支进行排列，共有 ( A(5, 3) ) 种排列：
	( A(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 60 ) 种。
3. 从 12 个候选人中挑选 5 名组队，共有多少种方法？	解答：从 12 人中选择 5 人，不考虑顺序，共有 ( C(12, 5) ) 种组合：
	( C(12, 5) = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792 ) 种。
4. 从 6 个相同苹果和 4 个不同橙子中，选择 3 个水果，能分为多少种情况？	解答：需分成两种情况讨论：
	(1) 全部是橙子，从 4 个不同橙子中选 3 个，方法为 ( C(4, 3) = 4 )。
	(2) 含有苹果，选择 1 个苹果和 2 个橙子的情况，方法为 ( C(4, 2) = 6 )。
	总方法数：( 4 + 6 = 10 ) 种。
5. 在一队 8 人中，其中包含 2 位领导，随机从中选 4 人组成小组，要求至少 1 名是领导，有多少种方法？	解答：总方案减去没有领导的方案：
	- 总方法数：( C(8, 4) = 70 )。
	- 没有领导的情况，从剩余 6 人中选 4 人，方法为 ( C(6, 4) = 15 )。
	有领导的情况方法数：( 70 - 15 = 55 ) 种。